Conceptual understanding of and being able to perform algorithmic operations with rational numbers is predictive for more advanced mathematics (e.g., Siegler et al., 2011). However, many students struggle with acquiring an adequate knowledge of rational numbers and their specific properties (Behr et al., 1993, Vamvakoussi & Vosniadou, 2004). Students' difficulties particularly emerge when their prior knowledge about properties of natural numbers conflicts with the properties of rational numbers (Ni & Zhou, 2005). That is, students have to learn that decimals and fractions are alternative notations within a unified number system and can be translated to one another. Moreover, rational numbers have a dense structure, that is, between any two distinct rational numbers there are infinitely many numbers. Besides, unlike natural numbers, multiplying two rational numbers does not necessarily yield a larger number than the two given factors, nor does dividing them always produce a quotient smaller than both the dividend and divisor. Understanding these three properties requires both procedural and conceptual knowledge. Researchers have proposed that procedural and conceptual knowledge show bidirectional developmental relations; that is, the two knowledge types mutually influence each other (Rittle-Johnson, Schneider, & Star, 2015). In two classroom experiments, we investigated whether training procedural knowledge (i.e. practising rational number arithmetic) benefits students’ conceptual knowledge.

In both studies, sixth graders (total N = 160) practised rational number arithmetic in different sequences. In each study, they were randomly assigned to 3 different computer-based practice conditions. These conditions differed only with regard to the sequence in which tasks were presented; that is, how strongly tasks were interleaved (Brunmair & Richter, 2019) based on the format (i.e. fractions, decimals) and arithmetic operations (we will provide more details about these trainings at the conference). Both studies comprised 8 training sessions, 45 minutes each, and additional sessions for pre-, post-, and delayed-post-tests.

Overall, sixth graders’ performance in procedural arithmetic performance increased significantly from pre- to post-test, and remained stable from post- to the delayed post-test. However, we did not find statistically significant differences between conditions. Furthermore, there was no clear-cut evidence that students’ conceptual knowledge benefitted from the training. However, we observed that students slightly changed their understanding from predominantly showing the typical misconceptions related to three properties of rational numbers (translation among from decimals to fractions and vice versa , density and conceptual understanding of multiplication and division) in the pre-test, to providing more inconsistent responses in the post-tests. This finding indicates that students doubted their initial conceptions and made a first step by partially developing their conceptual understanding via the procedural training. While this result provides tentative support for the proposed bi-directional development of procedural and conceptual knowledge (Rittle-Johnson et al., 2015), it also implies that an algorithmic skills training is not sufficient for developing a proper conceptual understanding of rational numbers properties.

Notre travail de thèse (Anonyme, 2023) interroge la place de la démarche d'investigation en classe de mathématiques dans un contexte institutionnel qui la place au cœur de sa philosophie éducative. En effet, ce travail offre une réflexion sur un exemple institutionnel assez unique d’une partie d’un diplôme de fin du secondaire prenant en compte pour 20% de l’évaluation, un travail de type démarche d’investigation nommé Exploration mathématique.

L’objectif général de la thèse était d’identifier et d’analyser la viabilité de la mise en application de la démarche d’investigation, en tenant compte des conditions et contraintes de la classe de mathématiques dans le cadre institutionnel du Baccalauréat International. En particulier, nous avons étudié le rôle et l’influence de ce dispositif d’évaluation dans l’intégration de cette démarche. Une première analyse (Annonyme, 2018) a été faite en utilisant l’échelle de la codetemination didactique de la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD) de Chevallard (1999). Puis une deuxième étude d’ordre clinique a visé à documenter les rôles respectifs des enseignant·es et des élèves dans le dispositif. Ainsi durant l’année scolaire 2018/19, nous avons observé deux enseignants de l’école internationale de Genève et quatre de leurs élèves (seuls deux ont respecté les conditions d’expérimentation et font donc l’objet d’une analyse dans la thèse) pendant toute la durée du travail. Les séances de classe ont été filmées. Pour avoir des traces du travail individuel des élèves, il leur a été fourni une caméra embarquée pour enregistrer leur travail à la maison et il leur a été demandé de tenir un carnet de bord. Les analyses sont faites à l’aide des différentes dialectiques développées dans l’étude des parcours d’étude et de recherche dans le cadre de la TAD (Chevallard, 2009). Afin de compléter la vision de cette institution et estimer la part de la resolution de problems dans l’évaluation cértificative, nous avons analysé, à l’appui des travaux sur une catégorisation des taches (Robert et Rogalski 2002, et Roditi et Salles 2015), les items proposés dans les examens standardisés.

Dans un contexte international avec un public multiculturel, cette institution encourage le travail personnel et indépendant et le développement des compétences de recherche des élèves. Le travail des élèves dans le cadre de l’Exploration mathématique est un travail souvent privé et sans interaction ni avec l’enseignant·e, ni avec d’autres élèves. Ici c’est la dialectique des media et des milieux (Bosch, 2018 ; Chevallard, 2008) qui permet de montrer les avancées du travail. Nous avons montré qu’une condition nécessaire pour que la recherche progresse significativement est que les media consultés puissent faire entrer dans le milieu des éléments suffisamment accessibles à l’élève. Il apparaît aussi que l’enseignant·e, même peu présent·e dans ce contexte, reste une source d’information privilégiée avec un poids important. Ce travail permet aussi, de voir que dans la partie plus classique de l’examen, la part de la résolution de problèmes est assez faible. Si les élèves peuvent finalement réussir l’examen même en échouant aux tâches de résolution de problèmes, celles-ci restent toutefois discriminantes pour obtenir les meilleures notes.